Representation theories of some towers of algebras related to the symmetric groups and their Hecke algebras

We study the representation theory of three towers of algebras which are related to the symmetric groups and their Hecke algebras. The first one is constructed as the algebras generated simultaneously by the elementary transpositions and the elementary sorting operators acting on permutations. The two others are the monoid algebras of nondecreasing functions and nondecreasing parking functions. For these three towers, we describe the structure of simple and indecomposable projective modules, together with the Cartan map. The Grothendieck algebras and coalgebras given respectively by the induction product and the restriction coproduct are also given explicitly. This yields some new interpretations of the classical bases of quasi-symmetric and noncommutative symmetric functions as well as some new bases. Résumé. Nous étudions la théorie des représentations de trois tours d’algèbres liées aux groupes symétriques et à leurs algèbres de Hecke. La première est formée des algèbres engendrées par les transpositions élémentaires ainsi que les opérateurs de tris élémentaires agissant sur les permutations. Les deux autres sont formées des algèbres des monöıdes des fonctions croissantes et des fonctions de parking croissantes. Pour ces trois tours, nous donnons la structure des modules simples et projectifs indécomposables ainsi que l’application de Cartan. Nous calculons également explicitement les algèbres et cogèbres de Grothendieck pour le produit d’induction et le coproduit de restriction. Il en découle de nouvelles interprétations de bases connues des fonctions quasi-symétriques et symétriques noncommutatives ainsi que des nouvelles bases.